時間軸を周波数軸に変換するのがフーリエ変換。
理系の人に限らずいたる所で利用されているのですが、ぱっと見何やってるかよくわかんないんですよね。
 
これまでもやもやしてたけど、今日本を見直してみたら13号台風一過のようにすっきりしたので記す。
 
フーリエ変換というか、とにかく、「ある区間に区切ってサンプリングしたデータは整数倍の周期を持つ有限個のcosとsinの大きさとして表せる」ということ。
で、実際にはどうするかというと、単に「基準となる整数倍の周期を持つcosとsinの正弦波を掛け合わせる」とそれぞれに対応した大きさがわかる、といもの。

『フーリエの冒険』なんかでは数百ページにわたって解説されてますが、めちゃんこ簡単にあらわすと上の二行に集約される。。すごく簡単にイメージすると、こんな感じ… (汗

 
  /\|~~\/|/|/|/ ← フーリエ変換して解析したいデータ
      ↓
 +–+–+–+–+–+–+–+
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ← それぞれの弁別機に同じように入力波形をかける
* * * * * * * * ← それぞれ 0倍(停止)、1倍、2倍、3倍、… で回転する歯車「弁別機」
 
   :     : 
  :  .    : :    . ← 弁別機から落ちてきた「モノ」がその周波数に対応する量。
 
 
なんで”回転する歯車”なのかというと、入力データを削り取って下に吐き出す「カキ氷機」のよーなものを想像してみてください。
この「カキ氷機」は曲者で、なんと入れる氷がぴったりと歯にはまらないと氷を掻くことができないのです!!
これはふたつの正弦波を掛け合わせた場合、「同じ周期を持つ場合のみ、面積が0以外になる」「周期が違う場合は面積が0になる」
ということに基づきます。
 
この歯車、よくできていて、漏らさないように二重になってて90度ずらして取り付けられています。
cosとsinの関係で片方だけでは位相差によりきちんと弁別できないから。あくまでもイメージですが。
 
実は離散フーリエ変換(DFT)の式を見てみるとそのままなんですね。
a(n) = 1/pi・ΣF(k)・cos( 2・pi・k・n / m )
b(n) = 1/pi・ΣF(k)・sin( 2・pi・k・n / m )
F(k)がもとのデータで、これに0~(m-1)倍の周波数を持つcosとsinの正弦波をひたすら掛けてるだけです。
一般的な解説、特にFFTではcos、sinのところが複素関数になっている場合が多ようですが、結局は同じ。
 

長年もやもや~んとしてたけど、解ったら、なんだそんなことだったのかと。

高校の数学がニガテだった私でも、これでようやく理解できました。

広告

コメントを残す

以下に詳細を記入するか、アイコンをクリックしてログインしてください。

WordPress.com ロゴ

WordPress.com アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト / 変更 )

Twitter 画像

Twitter アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト / 変更 )

Facebook の写真

Facebook アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト / 変更 )

Google+ フォト

Google+ アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト / 変更 )

%s と連携中